Teori Bilangan: Kekongruenan

-

 

Definisi 5.1

-     - Jika m suatu bilangan positif (m>0), maka: a kongruen dengan b modulo m 

dapat ditulis dengan : 


- Jika m tidak membagi (a-b) maka dikatakan: a tidak kongruen dengan b modulo m
dapat ditulis dengan: 


Teorema 5.1

jika dan hanya jika ada bilangan bulat k, sehingga a = mk + b


a dan m merupakan bilangan bulat dan m>0, menurut algoritma pembagian, maka a dapat dinyatakan sebagai a = mq+r, dengan 

 


 Teorema 5.2

Setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan tepat 1 diantara 0,1,2,3, ..... (m-1)

Definisi 5.2


Contoh 5.2:

1.     -  Residu terkecil dari 83 modulo 9 adalah

= 2. Karena sisa dari 83:9 adalah 2

2.      - Residu terkecil dari 79modulo 8 adalah

= 7. Karena sisa dari 79:8 adalah 7

3.      - Residu terkecil dari -53 modulo 10 adalah

= 7. Karena sisa dari -53:10 adalah 7. (residu terkecil dari suatu bilangan diambil

bilangan bulat positif)

-53 - 7 = -60 dimana 7 menjadi residu terkecil

Teorema 5.3

jika dan hanya jika a&b memiliki sisa yang sama jika dibagi m.


Definisi 5.3

Himpunan bilangan bulat {r1, r2, r3, …. rm} disebut residu lengkap modulo m jika dan hanya jika setiap elemennya kongruen modulo m dengan satu dan hanya satu dari  0,1,2,3, ..... (m-1)





 







Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

IDI (1) : 3 Ilmuwan Muslim Yang Berpengaruh Di Dunia

-
        Islam menempatkan nilai yang tinggi pada penalaran. Begitu tingginya, sehingga akal memainkan peran yang sangat penting dalam perjuangan wacana Islam. Sebagai hasilnya, rasionalitas sering kali dipasangkan dengan wahyu dalam banyak situasi dan argumen. Hal ini ditunjukkan dalam sejarah Islam dengan penyebaran pengetahuan di berbagai bidang dan penciptaan ratusan, bahkan ribuan, intelektual Muslim.           Umat Islam mengalami masa keemasan selama abad ke-8 dan ke-12 Masehi. Ini adalah periode di mana ilmu pengetahuan dan peradaban Islam berkembang pesat dan mencapai puncaknya. Umat Islam menjadi terkenal selama periode tersebut karena penekanan mereka tidak hanya pada agama tetapi juga pada ilmu pengetahuan umum dan alam. Dibalik dari zaman keemasan islam tersebut, pastilah ada banyak ilmuwan yang berkontribusi didalamnya. Berikut ini adalah 3 contoh ilmuwan muslim yang berpengaruh di dunia:         1.       Az-Zahrawi Az-Zahrawi memiliki nama lengkap Abu Al-Qasim Khalaf Ib
Baca selengkapnya

CONTOH PENERAPAN ILMU MATEMATIKA DALAM DUNIA ISLAM

-
Gambar
       Al-Qur ‟ an sebagai sumber segala sumber hukum dalam Islam dengan sangat jelas menyatakan bahwa segala sesuatu dalam alam semesta ini diciptakan dengan ukuran tertentu (qadr). Qadr secara matematik dapat diartikan sebagai aturan, rumus, atau formula. Jadi segala sesuatu di alam semesta ini ada aturannya, ada rumusnya, dan ada formulanya yang sangat rapi dan seimbang. Penerapan ilmu matematika banyak sekali disebutkan dalam ayat-ayat Al-Qur’an, salah satunya yaitu terdapat pada Q.S Al-Baqarah [2: 275 dan 280] yang artinya “ 275) Orang-orang yang makan (mengambil) riba tidak dapat berdiri melainkan seperti berdirinya orang yang kemasukan syaitan lantaran (tekanan) penyakit gila. Keadaan mereka yang demikian itu, adalah disebabkan mereka berkata (berpendapat), sesungguhnya jual beli itu sama dengan riba, padahal Allah telah menghalalkan jual beli dan mengharamkan riba. Orang-orang yang telah sampai kepadanya larangan dari Tuhannya, lalu terus berhenti (dari mengambil riba), maka
Baca selengkapnya

Implementasi Pembelajaran Pendidikan Agama Islam di SMAN 94 Jakarta dan Malahayati Islamic School

-
Gambar
                    SMAN 94 Jakarta menerapkan strategi khusus untuk membangkitkan pola pikir kritis siswa dengan mengintegrasikan pendekatan keagamaan dalam kegiatan belajar. Setiap awal pelajaran dimulai dengan membaca Al-Quran, di mana pembelajaran tajwid diajarkan secara perkelompok. Siswa yang sudah mahir membantu teman yang belum paham, dan penghafalan surat-surat dilakukan sesuai dengan capaian pembelajaran yang telah ditentukan oleh sekolah. Selain itu, SMAN 94 Jakarta menerapkan pendisiplinan yang ketat, seperti melarang siswa menggunakan pakaian ketat dan memamerkan kemesraan dengan pacar di lingkungan sekolah. Sebelum pandemi, program Baca Bin Al-Quran (BBQ) dilaksanakan melalui kegiatan ekstrakurikuler Rohis. Namun, saat ini kegiatan BBQ dinonaktifkan sementara karena kekurangan anggota senior yang dapat mengajarkan adik kelas. Meskipun demikian, untuk menjaga minat siswa, guru Pendidikan Agama Islam (PAI) membuat pembelajaran lebih menarik dengan menggunakan puzzle ayat
Baca selengkapnya